論文[1]にあるalpha振動子理論では、1個の生成演算子をalpha振動子と呼ぶ多数の演算子の和で書く。電磁場のベクトルポテンシャル
A
は式(3.19), (3.20)と展開するが、普通の教科書と違い、時空間のFourier変換をする。まず古典論でこの展開を考えると、
A(rt)
のFourier変換はできるので、その係数を正準変数と見なし量子化できるか、理論の内部矛盾や実験との整合性から判断する必要がある。
次に量子論のSchrodinger表示でこの展開を考える。
Q
k
,
P
k
を演算子と見なすと、ベクトルポテンシャル演算子
A
は
A(r)=
4π
−
−
√
∑
k
Q
k
cos(kr)–
P
k
/ωsin(kr)
であり、時間変数を陽に含まない。式(3.19), (3.20)は、時間tについて定数関数をFourier変換で表現する事になる。つまり展開の右辺は時間tを含むように見えるが、左辺は
t
を含まない。ハミルトニアン
H
QED
(t)
はベクトルポテンシャル
A
で書けるので、やはり
t
に陽に依存しないと思う。
Alpha振動子として導入した多数の演算子は論文[2]で、普通の生成演算子が正しい性質を満たすよう、付加条件を課している。そこで普通の量子論と矛盾する結果、例えば
H
QED
(t)
は時間に依存する、は出ないと思いたい。
H
QED
(t)
の時間依存性はさておき、それを状態ベクトルではさんで得られる実数は、何を表わすか。普通の理論では（無限大の零点エネルギーを含む）エネルギーの期待値を表わす。それらは時間に依存しないので、真空を基準にしたエネルギーも一定になる（エネルギー保存則）。上の実数が一定でない場合、閉じた系のエネルギーが保存しないのだが、これは正しいとは思えない。そこで、ハミルトニアンが時間に陽に依存し、状態ベクトルがこのハミルトニアンに従って運動する時、上の実数が一定値を保つ事はあるか考えよう。以下で見るように、初期状態ベクトルは任意に選べるので、これはあり得ないと思う。
初期時刻t=0付近でハミルトニアンを
H(t)=
H
0
+t
H
1
と展開し、
H
0
を無摂動とする相互作用表示を使って議論する。エルミート演算子
H
1
の完全系を
(
ϵ
k
,
χ
k
)
とする。上の実数が一定値を保つには、任意の状態ベクトル
χ
に対して
⟨χ|
H
1
|χ⟩=0
が必要。だが非ゼロの
ϵ
k
に対応する
χ
k
を初期状態ベクトルに選ぶとゼロにならない。
結論を述べると、(i)
H
QED
は時間に陽に依存しない (ii)
H
QED
(t)
を状態ベクトルではさんで得られる実数は、一般に時間に依存する。つまり閉じた系のエネルギーは保存しないと文献[2]は予想するので、私はエネルギー保存則を支持し、文献[2]の式(1.1)は誤りだと思う。
このような当たり前の結論を得て、私は物哀しい気持ちになった。京大工学部の立花研究室には、教授、講師、助教、修士学生がいて、科研費も取っていて、私より立派な研究室である。
H
QED
が時間に陽に依存するという驚くべき結論に対して、研究室で議論はされなかったのだろうか。議論は科学教育でとても重要な部分なのだが。論文[2]の投稿時に審査者やeditorは真剣に読んだのだろうか。まあ、論文審査に時間をかけられないとか、嫌な事を書くと嫌われる気持ちは分からないでもないが、日和ってはいけない。
ひょっとしたら私の論理に間違いがあるのかもしれない。立花先生は教科書を執筆中らしいので、その完成後に再検討したい。